Задача оптимизации портфеля

Для того чтобы составить эффективный портфель, необходимо найти точку касания границы эффективности с кривой безразличия инвестора (рис. 11.12). Предположим, инвестор намечает иметь в портфеле N определенных ценных бумаг. Ему необходимы характеристики этих бумаг, т.е. ожидаемые доходности Еi риск σi , и знать или вычислить коэффициенты корреляции rij между всеми парами выбранных бумаг. Для удобства дальнейшего описания будем пользоваться ковариациями Сij = ρij σi σj . В сумме необходимо найти N + N2 величин.

Далее, перейдем от системы координат (Е,σ ) к системе координат (Е, V), В наших осях парабола, характеризующая кривую безразличия инвестора, будет выглядеть прямой.

Запишем уравнение для семейства прямых безразличия в виде:

Здесь λ — наклон прямых, α — параметр. Стремясь достичь максимальной полезности, инвестор окажется на прямой с минимально возможным значением α. Следовательно, перед инвестором стоит задача найти такие Xi, при которых минимально

при условии

для всех λ > 0. Надо сказать, что Xi могут принимать любые значения в интервале (-∞, +∞). Отрицательная величина Xi означает, что ценные бумаги с соответствующими характеристиками нужно не покупать, а продавать. Будем искать решение для Хi в виде Xi = Кi + kiλ. Тогда, решив задачу однажды, можно, меняя рисковые предпочтения, подбирать нужный портфель (рис. 11.13). Например, инвестор хочет создать портфель из трех бумаг. В результате решения он получит такую, например, картину:

Выбрав цену риска, соответствующую λ*, инвестор получит эффективный портфель, отвечающий его готовности рисковать ради получения дохода. Тогда

Задача, подобная описанной, решается методом Лагранжа. Полагая, что читатель с этим методом знаком, приведем получающуюся в результате его применения систему линейных уравнений:

Эту систему необходимо решить дважды. Сначала принять λ = 0, тогда получится Ki , будет описан портфель с минимальной вариацией, а затем решить эту же систему, задав, например, λ = 1. Тогда получим ki ,и задача решена для любых X.

Рассмотрим пример. Пусть инвестор хочет создать портфель из трех акций, имеющих следующие характеристики:

• ожидаемые доходности — 20%, 30% и 40%;
• стандартные отклонения — 20%, 40% и 50% соответственно;
• коэффициенты корреляции —

Получим систему уравнений:

Приняв λ = 0 и решив систему уравнений, получим Кi. Положив λ = 1 и решив эту же систему уравнений второй раз, вычислим ki . В результате получим:

Графически решение дано на рисунке 11.14

Пусть на рынке есть безрисковые бумаги с Е1 = 10% и, конечно, σ1 = 0. Тогда, если составить портфель из безрисковой ценной бумаги и первых двух из предыдущего портфеля, получим систему уравнений:

Повторив уже описанную процедуру, получим следующее решение:

Обратите внимание на то, что для рискованных ценных бумаг К = 0. Это общее свойство решения системы уравнений при наличии в портфеле безрисковой ценной бумаги.