Модели Рендлмана-Барттера, Васичека и Кокса- Ингерсолла-Росса
Модель Рендлмана-Барттера (Rendleman-Bartter model)
Предполагается, что краткосрочная процентная ставка rτ в мире, нейтральном к риску, определяется геометрическим броуновским движением
и удовлетворяет начальному условию rt = r0.
В этом случае краткосрочная процентная ставка rт распределена логнормально с параметрами:
Для оценки стоимости финансовых инструментов, производных от процентной ставки, можно использовать стандартную биномиальную модель с показателями
Замечание. В модели Рендлмана-Барттера ожидаемое значение краткосрочной процентной ставки rτ равно . Это означает, что в модели не учитывается эффект возвращения к среднему (mean reversion): если процентная ставка сильно отклоняется от некоторого долгосрочного среднего значения, то в дальнейшем проявляется тенденция возвращения процентной ставки к среднему значению.
Модель Васичека (Vasicek model)
Предполагается, что краткосрочная процентная ставка в мире, нейтральном к риску, определяется стохастическим дифференциальным уравнением
и удовлетворяет начальному условию rt = r0.
Это означает, что краткосрочная процентная ставка rτ распределена нормально с параметрами:
Стоимость облигации с нулевым купоном номиналом 1 долл. и датой погашения Т может быть найдена по формуле, так как в данном случае:
В условиях модели Васичека стоимость европейских опционов колл (сτ) и пут (рτ) в момент τ на облигацию с нулевым купоном можно найти по формулам:
Замечание. Для доказательства достаточно проверить, что cτ и pτ удовлетворяют дифференциальному уравнению в частных производных и соблюдаются соответствующие граничные и конечные условия.
Модель Кокса-Ингерсолла-Росса (Cox-Ingersoll-Ross model)
Предполагается, что краткосрочная процентная ставка rτ в мире, нейтральном к риску, определяется стохастическим дифференциальным уравнением
Стоимость облигации с нулевым купоном номиналом 1 долл. и датой погашения Т может быть найдена по формуле, так как в данном случае:
Решив систему дифференциальных уравнений, получим, что
Замечание. Были выведены формулы для оценки европейских опционов на облигацию с нулевым купоном. Однако эти формулы значительно сложнее тех, которые справедливы для модели Васичека.
- Краткий обзор Нового базельского соглашения по капиталу
- Модель управления активами и пассивами (ALM)
- Метод сигналов
- Подход на основе регрессионного анализа
- Модели возникновения финансовых кризисов
- Минимальные требования к достаточности капитала с учетом кредитного и рыночного рисков
- Подход на основе внутренних моделей банков. Верификация моделей расчета VaR по историческим данным
- Подход на основе внутренних моделей банков. Количественные критерии
- Подход на основе внутренних моделей банков. Качественные критерии
- Оформление отчета по практике по ГОСТу 2021/2022
- Оформление ВКР по ГОСТу
- Как составить бизнес-план своими силами
- Оформление эссе по ГОСТу
- Оформление презентации по ГОСТу
- Оформление статьи по ГОСТу
- Оформление дипломной работы по ГОСТ 2021/2022
- Оформление курсовой работы по ГОСТу
- Оформление контрольной работы по ГОСТу