Доказательство NP-полноты задачи о 3-раскраске

Доказательство. Легко увидеть, почему задача принадлежит NP. Для заданных G и k одним из сертификатов, подтверждающих истинность ответа, является k-раскраска: за полиномиальное время можно убедиться в том, что в раскраске используется не более k цветов и никакая пара узлов, соединенных ребром, не окрашена в один цвет.

Как и другие задачи в этом разделе, задачу о 3-раскраске графа трудно связать с другой NP-полной задачей, виденной ранее, поэтому мы снова вернемся к 3-SAT. Заданный экземпляр 3-SAT с переменными x1, …, xn и условиями C1, …, Ck будет решен с использованием «черного ящика» для решения задачи 3-раскраски.

Начало сведения выглядит вполне ожидаемо. Возможно, основное достоинство 3-раскраски при кодировании булевых выражений заключается в том факте, что мы можем связать узлы графа с конкретными литералами, а соединяя узлы ребрами, можно гарантировать, что им будут назначены разные цвета; это обстоятельство позволяет связать с одним узлом истинное, а с другим — ложное значение.

С учетом сказанного мы определяем узлы и , соответствующие каждой переменной и ее отрицанию . Также определяются три «специальных узла» T, F и B (сокращения от True, False и Base).

Для начала мы соединим каждую пару узлов vi,  ребром и соединим оба этих узла с Base (в результате чего образуется треугольник из vi,  и Base для каждого i). Также True, False и Base соединяются в треугольник. 

• В любой 3-раскраске графа G узлам vi и   должны быть назначены разные цвета, и оба они должны отличаться от цвета Base.
• В любой 3-раскраске графа G узлам True, False и Base должны быть назначены все три цвета в некоторой перестановке. В дальнейшем эти три цвета будут называться цветами True, False и Base в зависимости от того, какому из узлов соответствует тот или иной цвет.

В частности, это означает, что для всех i одно из значений vi  или   получает цвет True, а другому достается цвет False. В оставшейся части этого построения будем считать, что переменной xi значение 1 в заданном экземпляре 3-SAT присваивается в том, и только в том случае, если узлу vi назначается цвет True.